在之前的文章里，我们学习了均值漂移的基本方法，在这篇文章里，我们从BWH方法入手，继续学习CBWH方法。 Credit:
本文中所引用的研究来自：
J. Ning, Robust mean-shift tracking with corrected background-weighted histogram, DOI: 10.1049/iet-cvi.2009.0075
王芳芳，陈华 《动态背景下的视频目标跟踪》，硕士学位论文
Kernel-Based Object Tracking, DOI: 10.1109/TPAMI.2003.1195991
成伟，柴毅 《均值漂移算法在视频目标跟踪中的应用》，硕士学位论文
BWH方法
在之前的均值漂移算法里，存在一个问题，即，算法是用颜色直方图来描述目标的，如果目标颜色和背景颜色模式很相似，可能产生的差异不足以让算法收敛，或者收敛至错误的局部最优。所以在此基础上，有人提出了BWH算法，即通过在描述目标的时候考虑背景的特征，尝试降低背景的影响。
背景特征
定义背景特征为：
\[\left\{ \hat { O } _ { u } \right\} _ { u = 1,2 , \ldots m } \left( \sum _ { u = 1 } ^ { m } \hat { O } _ { u } = 1 \right)\]其中背景区域是指，以目标中心点为中心点，取目标区域3倍大小的区域，再去掉目标区域，剩下的就是背景区域。
而背景特征的计算方法，和之前的目标特征的计算方法一致。（这一点在各种论文中均未提及，但是基于算法的特点，我推测是这样，有时间之后我会尝试查看更详细的例子，比如实现CBWH的源码，来进行确认）即：
\[o_u={C\sum_{i=1}^nK\left(\middle\|{x'}_i^*\middle\|^2\right)\delta\left[b\left({x'}_i^*\right)-u\right]}\]其中x’是背景区域的点集元素。
背景特征系数
获得背景特征
\[\left\{\hat o_u \right\}_{u=1,2,\ldots m }\]之后，需要通过背景特征获取一个背景特征系数，参与之后的运算。背景特征系数被定义为
\[\left.v _ { u } = \min \left( \hat { o } ^ { * } / \hat { o } _ { u } , 1 \right) \right\} _ { u = 1 , \ldots , m }\]。其中，\(\hat o^*\)是背景特征集中最小的非零元素。
仔细观察这一系数，可以发现，对应的背景特征越明显，系数就越小，就越能把这一特征对目标模型的影响消除。
基于BWH的模型描述
将刚才获得的系数应用在模型描述上，将获得：
\[{q'}_u={C' v_u\sum_{i=1}^nK\left(\middle\|x_i^*\middle\|^2\right)\delta\left[b\left(x_i^*\right)-u\right]}\]其中标准化系数：
\[C'={1\over{\sum_{i=1}^nk\left(\middle\|x_i^*\middle\|^2\right) \sum_{u=1}^m v_u \delta\left[b\left(x_i^*\right)-u\right]}}\]同样的，将其应用在候选目标描述模型上，则有：
\[{p'}_u(y)={ { C' } _h v_u \sum_{i=1}^{n_h}k\left(\middle\|{ { y - x_i } \over h}\middle \| ^ 2 \right) \delta \left[ b \left( x_i \right) - u \right] }\]其中标准化系数：
\[C' ={ 1\over{ \sum _ { i = 1 }^{ n_h }k\left( \middle \|{ { y - x_i }\over h } \middle\| ^ 2 \right) \sum_ { u=1 } ^ m v_u \delta \left [b \left( x_i \right) -u \right] } }\]其余的计算方法与均值漂移完全一致，只是实际参与运算的变量有所不同。这一方法的主要缺陷在于，它虽然考虑到了背景的影响，但是同时对目标和候选目标使用了BWH系数，这样导致在生成漂移向量的时候，分子分母处的系数互相约分，其实与一般的均值漂移是一样的。由此，研究人员发明了CBWH方法。
CBWH方法
在进行了如此之多的铺垫之后，我们终于开始学习本次的主角——CBWH方法。但是其实，CBWH的全部要点在上面都介绍过，它也是均值漂移方法，与BWH不同的是，它只用新的系数处理目标模型，而不处理候选目标模型，有效避免了BWH的被约分掉的问题。
基于CBWH的模型描述和漂移向量
CBWH的追踪目标概率模型描述方法与BWH一致，也是使用由背景特征生成的\(v_u\)进行描述，即：
\[{q''}_u={C'' v_u\sum_{i=1}^nK\left(\middle\|x_i^*\middle\|^2\right)\delta\left[b\left(x_i^*\right)-u\right]}\]其中标准化系数：
\[C''={1\over{\sum_{i=1}^nk\left(\middle\|x_i^*\middle\|^2\right) \sum_{u=1}^m v_u \delta\left[b\left(x_i^*\right)-u\right]}}\]与BWH不同的是，CBWH的候选目标模型仍然是标准的均值漂移的候选目标模型：
\[p''_u(y)={C''_h\sum_{i=1}^{n_h}k\left(\middle\|{ {y - x_i} \over h}\middle\|^2\right)\delta\left[b\left(x_i\right)-u\right]}\]其中标准化系数：
\[C''={1\over{\sum_{i=1}^{n_h}k\left(\middle\|{ { y - x_i }\over h}\middle\|^2\right)}}\]由此可以得到新的权值\(w_i^{\prime\prime}\)：
\[w_i^{\prime\prime}=\sqrt{\frac{q_u^\prime} {p_u^\prime} }=\sqrt{\frac{ C ^\prime v_u \sum_{i=1}^n\mathrm k\left(\left\| \mathbf x_i^*\right\|^2 \right) \delta \left[b \left(\mathbf x_i^* \right) - u \right] } { C_h^\prime \sum_{j=1}^ {n_n} \mathrm k \left(\left\|\frac{\mathbf y - \mathbf x_j} h \right\|^2 \right) \delta \left[b\left( \mathbf x _ j^* \right)-u \right]}}\]可以看出来，与原来的权值相比，有：
\[w_i^{\prime \prime}=\sqrt {v_u^\prime w_i}\]这样，当背景中一个特征很明显时，其权值便会很小，保证CBWH能够快速收敛到正确的目标上。新的漂移向量为：
\[\mathbf y_1= \frac{\sum_{i=1}^{n_h} \mathbf x_i g_i w_i^ {\prime \prime}} {\sum_{i = 1}^{n_h} g_i w_i}\]其中的\(g_i\)是我们为了方便表示而进行的缩写，有：
\[g_i= \mathrm g \left( \left\| \frac {\mathbf y - \mathbf x_i} h \right\|^2 \right)\]背景特征更新
在经过一系列迭代，完成本帧追踪之后，需要考虑的一个问题就是，当前帧与上一帧的背景已经发生改变，是否需要更新背景特征？在得到新的目标区域之后，计算新的背景特征\(\lbrace o_u^\prime \rbrace_{u=1,\ldots ,m}\)，并计算新旧背景之间的相似度\(\rho = \sum_{u=1}^m \sqrt{o_u o_u^\prime}\)。如果相似度小于一个阈值，则认为新旧背景之间发生了较大的变化，此时用新的背景特征更新背景特征描述模型即可。
到这里，CBWH算法的要点也全部结束了（再次撒花），在之后的文章中，我们将从卡尔曼滤波先行入手，开始对于结合SIFT和CBWH的卡尔曼滤波追踪的学习，这将是我们这次研究的算法的主体部分，之前的SIFT和CBHW都是对于这个算法的铺垫。若有错误，还望指正。