上一篇文章中，我们讨论了构建高斯差分尺度空间的基本操作，在这片文章中，我们将继续学习SIFT特征的知识。
Credit:
本次学习中所引用的研究来自:
王芳芳，陈华 《动态背景下的视频目标跟踪》，硕士学位论文
怎么求SIFT特征
检测DOG尺度空间极值点
极值点选取
前文中说过，SIFT算子是为了获取图像的特征点。而这一步骤的目的，就是提取特征。提取方法也很简单：将一个像素与其周围的26个相邻像素进行比较，如果该像素取到最大值或最小值，那么这就是一个极值点。26个像素是指，与其同层周围8个像素，和上下两层9个像素进行比较。这样就导致，每层边缘的一个像素点无法被比较，但是这样的像素只占极少的部分，边缘像素也一般不出现在追踪情况里。它也会导致每组第一层和最后一层的图像没有进行比较，因为它们没有上下两层。所以这表示我们需要在高斯差分金字塔中额外生成多余的两层图像，再加上高斯差分会让DOG金字塔比GSS金字塔少一层，所以我们需要生成S+3层高斯金字塔。
那么，第二个问题就是，极值点怎么产生？因为彩色图像都是三通道的，而极值点只能是一个描述向量的性质。常用的方法有：
- 最简单的转换为灰度。这是最常见的方法，SIFT算子本身也是基于灰度的。但是这么做有个显而易见的缺点，就是丢失了图像的彩色信息，对图像信息损失比较严重。
- 也有通过加权合成三个通道，用一个特征量表示的。但是通常这类算法的健壮性都不是非常高，因为光照对这类算法的影响比较大，不同的条件下表现也都不一样，同时运算量也比较大。
在本次的学习中，我采用的方法是这样的：在接收到图像信息的时候，缓存该帧，同时同步转换为灰度图像。利用灰度图像进行SIFT特征点提取，之后抛弃灰度图金字塔，将彩色图像上对应的点标记为特征点，送入下一个处理模块，并准备处理下一帧。
低对比度极值点处理
经过上面的操作，将获得大量的极值点。到那时很多极值点属于噪声，所以为了去掉DoG局部曲率非常不对称的像素。通过拟和三维二次函数以精确确定关键点的位置和尺度（达到亚像素精度），同时去除低对比度的关键点和不稳定的边缘响应点(因为DoG算子会产生较强的边缘响应)，以增强匹配稳定性、提高抗噪声能力，在这里使用近似Harris Corner检测器。
首先对空间尺度函数进行泰勒展开：
求导并令其导数为0，获得精确位置：
只取泰勒展开前两项并将精确位置代入：
此时，将获得一个特征值，若此值
则保留，否则舍弃。
经过这样处理的极值点可以去掉低对比度的极值点，只保留与周围像素点差别较明显的点。但是依然存在局部曲率不对称的点，例如，边缘上的点，在沿边缘方向曲率变化不明显，在垂直于边沿方向曲率变化明显。为了排除边缘响应，还要继续进行下一步处理。
边缘响应极值点排除
Hessian矩阵
Hessian矩阵是一个数学概念，简单来说，是用来判断多元函数在某一点处有没有极值的矩阵。它的概念是，若一个多元函数在x0处由任意阶导数，那么：
其中
将上述展开式写成矩阵形式，则有：
即：
其中
G便是Hessian矩阵。
没有看懂？ 好吧我也没怎么看懂，不过幸运的是，数学理论推导在这次学习中并不是很重要，因为，一方面，我们的目的是使用这一矩阵而不是证明其合理，另一方面，其实我们不用完整的把全部过程都算出来。
使用Hessian矩阵处理极值点
刚才讲了Hessian矩阵，如果你觉得没有看明白，不必担心，因为，这一步操作比刚才的说明简单多了……
一个极值点处的主曲率可以通过一个2*2的Hessian矩阵H求出：
导数由采样点相邻差估计得到。D的主曲率和H的特征值成正比，令α为较大特征值，β为较小的特征值，则：
令α=γβ，则：
(r+1)2/r的值在两个特征值相等的时候最小，随着r的增大而增大，因此，为了检测主曲率是否在某域值r下，只需检测：
如果不满足上述不等式，则抛弃该极值点。Lowe在论文中建议的r值为10。
在这篇文章中，我们讨论了如何利用高斯差分尺度空间找到其极值点，和怎样优化极值点。在接下来的文章中，我将继续学习如何从极值点产生SIFT描述子，若有错误，还望指正。